Математика и логика

Бит — один двоичный разряд. Байт — 8 бит, то есть 256 комбинаций: хватает на букву английского текста или на одну из 256 градаций яркости. Крупные единицы: килобайт, мегабайт, гигабайт — примерно тысяча, миллион и миллиард байт.

✗ «Мегабит и мегабайт — одно и то же». Нет: в байте 8 бит; скорость интернета меряют в мегабитах в секунду, размер файлов — в мегабайтах, разница в 8 раз.

Отношение числа подходящих исходов к числу всех равновозможных: шестёрка на кубике — 1/6, около 17 %. Вероятность 0 — событие невозможно, 1 — произойдёт наверняка. На длинной серии доля события приближается к вероятности, но каждый отдельный бросок остаётся непредсказуемым.

✗ «После пяти решек подряд орёл почти обязан выпасть». Нет: у монеты нет памяти — шанс каждого нового броска прежний, 1/2; серия ничего не «накапливает».

Набор вершин и соединяющих их рёбер. Рёбра бывают направленными (улица с односторонним движением) и с весами (длина дороги); маршрут — путь по рёбрам между вершинами. Локальная сеть — тоже граф: устройства — вершины, кабели и радиоканалы — рёбра.

✗ «Граф — это график функции». Нет: график показывает зависимость величин, а граф — объекты и связи между ними; рисовать его можно как угодно, важно лишь, что с чем соединено.

Изображение зависимости в координатах: по горизонтальной оси (x) — то, что меняем, чаще время; по вертикальной (y) — что измеряем; каждая точка — пара (x; y). По графику находят значения между измерениями, наибольшее и наименьшее, а по крутизне линии — где величина меняется быстрее.

✗ «График скорости — это картинка дороги». Нет: график показывает, как величина меняется, а не куда движется предмет: горка на графике скорости — разгон, а не холм на трассе.

Позиционная система с основанием 2: вес разрядов — 1, 2, 4, 8, 16… Запись 101 означает 4 + 0 + 1 = 5. Электронике проще надёжно различать два состояния (есть напряжение или нет), поэтому все данные в компьютере двоичные.

✗ «Внутри компьютера хранятся цифры и буквы». Нет: там только два состояния — сигнал есть или нет; цифры, буквы и картинки закодированы последовательностями 0 и 1.

Число вида a/b: числитель a — сколько долей взято, знаменатель b — на сколько долей разбито целое; та же запись означает деление a на b. Дробью записывают передаточное отношение: пара «12 зубьев крутит 36» даёт 12/36 = 1/3 — большая шестерня делает треть оборота на каждый оборот малой.

✗ «1/8 больше 1/4 — ведь 8 больше 4». Наоборот: чем на больше частей режем целое, тем мельче каждая часть, поэтому 1/8 меньше 1/4.

Устойчивое правило в данных или событиях, позволяющее предсказывать следующие значения. Инженеры ищут закономерности в измерениях: показание датчика закономерно меняется с расстоянием до предмета — значит, по показанию можно узнать расстояние.

✗ «Закономерность — это когда одно и то же повторяется». Нет: повторение — простейший случай; закономерность — правило, по которому ряд может и меняться: 1, 2, 4, 8…

Числа, задающие положение точки относительно осей: на плоскости — пара (x; y), отсчёт от начала координат (0; 0). Значения бывают отрицательными — это «влево» и «вниз» от начала. Порядок чисел в паре важен.

✗ «Порядок чисел не важен: (3; 5) и (5; 3) — одна и та же точка». Нет: первое число — по горизонтали (x), второе — по вертикали (y); это разные точки.

log_a b — показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить b: log₂ 32 = 5, lg 1000 = 3. Операция, обратная возведению в степень. Нужен там, где важно «во сколько раз», а не «на сколько»: например, громкость в децибелах — логарифмическая шкала.

✗ «Логарифм — новая сложная операция». Нет: это знакомая степень, прочитанная наоборот: не «сколько будет 2⁵?», а «в какой степени 2 даёт 32?». Ответ — 5.

Операции над значениями «истина/ложь»: И (AND) даёт истину, только когда истинны оба операнда; ИЛИ (OR) — когда истинен хотя бы один; НЕ (NOT) меняет значение на противоположное. Каждая операция описывается таблицей истинности — результатами для всех комбинаций. Ими соединяют простые проверки в сложные условия программ.

✗ «ИЛИ означает: либо одно, либо другое». Нет: логическое ИЛИ истинно и тогда, когда оба условия верны сразу; строгое «либо-либо» — отдельная операция, исключающее ИЛИ.

Отношение размера на изображении к настоящему: 1:2 — вдвое меньше, 2:1 — вдвое больше, 1:1 — натуральная величина. В одном масштабе умножаются все длины, поэтому форма сохраняется; углы при масштабировании не меняются.

✗ «Масштаб 1:2 — значит увеличено в 2 раза». Нет: первое число — размер на чертеже, второе — настоящий: 1:2 — уменьшение вдвое, увеличение вдвое — это 2:1.

Прямоугольная таблица m×n чисел; элемент находят по паре индексов «строка, столбец». Чёрно-белая картинка — матрица из 0 и 1, цветное фото — матрица пикселей. В коде это двумерный массив (список списков); светодиодная матрица 8×8 управляется именно такой таблицей.

✗ «Матрицы перемножаются как числа — поэлементно и в любом порядке». Нет: умножение идёт «строка на столбец», и A·B, как правило, не равно B·A.

Замена числа ближайшим с выбранной точностью. Правило: если первая отбрасываемая цифра 5 или больше — последнюю оставляемую увеличиваем на 1, иначе не меняем. Точность выбирают по задаче: для отверстия под винт «примерно 3 мм» может не подойти.

✗ «Округлять можно на любом шаге вычислений — всё равно примерно». Нет: каждое округление добавляет ошибку, и они накапливаются; округляют один раз — итог.

Результат целочисленного деления — пара: неполное частное и остаток, который всегда меньше делителя: 7 mod 2 = 1 (mod — операция «взять остаток»). Остаток 0 означает деление нацело; остаток от деления на 2 различает чётные (0) и нечётные (1) числа.

✗ «Остаток — это дробная часть ответа». Нет: остаток — целое число, которое не разделилось: 7 : 2 — это 3 и 1 в остатке, а вовсе не «3,5».

Числа левее нуля на числовой прямой; у каждого положительного есть противоположное отрицательное. Прибавить отрицательное — то же, что вычесть; минус на минус при умножении даёт плюс. В технике знак задаёт направление: скорость −100 для мотора — то же вращение, но в обратную сторону.

✗ «Из меньшего числа нельзя вычесть большее». Нет: 3 − 5 = −2, число меньше нуля; именно так термометр показывает мороз, а мультиметр — перепутанную полярность.

Величина части плоскости внутри фигуры; измеряется в квадратных единицах: мм², см², м². Площадь прямоугольника — длина × ширина; сложную деталь разбивают на прямоугольники и складывают их площади. По площади считают расход материала: фанеры, плёнки, краски.

✗ «У фигур с равным периметром равная площадь». Нет: рамка из одной и той же верёвки может охватывать разную площадь — вытянутый прямоугольник вмещает меньше квадрата.

Числа с ровно двумя делителями. Любое целое больше 1 единственным образом раскладывается в произведение простых: 60 = 2·2·3·5 — простые служат «кирпичиками» всех остальных чисел. Все простые до N находит решето Эратосфена: выписать числа и вычеркнуть кратные каждого найденного простого.

✗ «1 — тоже простое число». Нет: у простого числа ровно два разных делителя — 1 и оно само; у единицы делитель один, поэтому она не простая и не составная.

Запись доли от целого в сотых частях: p% означает p/100. Чтобы найти p% от числа, умножь его на p и раздели на 100: 20% от 350 — это 70. Одинаковые проценты от разных целых — разные количества.

✗ «50% заряда у любых батарей — одинаковый запас энергии». Нет: процент — доля от целого, а целое разное: 50% большого аккумулятора может быть больше энергии, чем 100% маленького.

Свойство фигуры совмещаться с собой при отражении относительно оси (осевая симметрия) или повороте вокруг точки (поворотная). Симметричные конструкции уравновешены: лопасти пропеллера одинаковы, иначе при вращении он вибрирует.

✗ «Симметрия — это только когда левая и правая половинки одинаковые». Нет: бывает и поворотная симметрия — снежинка или пропеллер совпадают сами с собой при повороте.

Сумма значений, делённая на их количество. Сглаживает случайный разброс: показания датчика «дрожат», поэтому берут среднее из десятка измерений, а не одно. Чем больше измерений, тем устойчивее среднее.

✗ «Среднее — одно из чисел набора, самое типичное». Нет: среднее может не совпадать ни с одним значением: среднее 2 и 4 — это 3.

2ⁿ — произведение n двоек: 2⁸ = 256, 2¹⁰ = 1024. Электроника различает два состояния, поэтому «круглые» числа техники — степени двойки: байт хранит 256 разных значений, n двоичных разрядов дают 2ⁿ комбинаций, а «компьютерная тысяча» — это 1024.

✗ «2⁵ — это 2 умножить на 5, то есть 10». Нет: степень — повторное умножение: 2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32; с каждым шагом число удваивается, а не прирастает на двойку.

Два луча с общей вершиной; величина угла — поворот одного луча до другого, в градусах. Острый — меньше 90°, прямой — 90°, тупой — больше 90°, развёрнутый — 180°. Так задают повороты: «поверни робота на 90°» — точнее, чем «налево».

✗ «Чем длиннее стороны, тем больше угол». Нет: угол — величина поворота между направлениями; длина сторон на неё не влияет.

Отношение длины окружности к диаметру, одно и то же для всех окружностей: C = π·d ≈ 3,14·d. Поэтому робот с колесом диаметром 56 мм проезжает за один оборот 3,14 · 56 ≈ 176 мм — так по числу оборотов колеса считают пройденный путь.

✗ «π равно 3,14». Нет: 3,14 — лишь округление; π — бесконечная непериодическая дробь 3,14159…, и для точных расчётов берут больше знаков.

Позиционная система с основанием 16, вес разрядов — 1, 16, 256. Один знак заменяет ровно четыре двоичных разряда, поэтому байт — это два знака: 255 = FF. Так записывают цвета экрана: #FF0000 — чистый красный; по два знака на красный, зелёный и синий каналы, каждый от 0 до 255.

✗ «Буквы в коде цвета #FF8800 — сокращения каких-то слов». Нет: A–F — обычные цифры со значениями от 10 до 15; FF — это число 255.